Wiskunde met dobbelstenen

Wanneer kleine kinderen voor de eerste keer naar een dobbelsteen kijken, dan focussen ze op de zijde die naar hen gericht is. Maar al gauw tellen ze hoeveel ogen de bovenkant telt. Dit blogbericht toont je wat er
voor kleuters nog allemaal in zo’n spelsteen zit. Wie weet zit er zelfs voor jou nog een hersensnoepje in.

1. Aan de slag

De verleiding is groot om met een grote mousse dobbelsteen in de kring te beginnen. Maar laat ons eens op de verrassing spelen zonder de mousse dobbelsteen onder een doek of in een kist te steken.

Teken een soort van een papieren T- of kruisvorm, een rudimentair vouwplan of een iets meer gesofisticeerd model zoals hiernaast, waar je relatief makkelijk een dobbelsteen kan van maken. De meeste kleuters zullen het wonderlijk vinden dat je er met knippen, vouwen en plakken in zal slagen. Hier zit ongetwijfeld een goed showmoment in voor je kleuters in de kring:

  • Weet je wat ik hier getekend heb?
  • Een kruis, meester.
  • En ook een dobbelsteen.
  • (Stilte)
  • Kijk. 
  • *magie*

Je hoeft daarom de dobbelsteen niet van begin tot eind in de de kring te maken. Na de aanzet kan je verdergaan met een geprefabriceerd model, waar je nog een ribbe van moet vastplakken. Als je tv-koks ziet koken, gaat het ook zo. De meeste kook-, bak- of gaartijd wordt eruit gemonteerd. Spring in de kring maar flink verder in je constructieproces.

Naargelang het niveau van jouw klasgroep kan je de kleuters nog meer uitdagen, bijvoorbeeld met de manier waarop de ogen van een dobbelsteen op de zijden zijn aangebracht.

Neem er ter voorbereiding even een dobbelsteen bij. Let eens op de symmetrie en de voorkeur voor diagonale lijnen en voor het vullen van de beschikbare ruimte. De twee ogen van de 2-zijde staan relatief ver uit elkaar en laten toch nog een ruime marge tot de rand. Ze waren ook anders aan te brengen zodat ze symmetrisch zouden zijn op zowel een denkbeeldige horizontale als een verticale as, maar niet diagonaal.

En hoe weet je waar de 1 staat als de 6 vooraan ligt? Achteraan. De som van de tegenoverliggende vlakken is altijd 7: 1 en 6; 2 en 5; 3 en 4.

Dat laatste weten sommige kinderen wel al. Voor de anderen is het eens te meer magie.


Iedereen houdt van meetkunde, maar niet iedereen beseft het al.

Als je er een echte dobbelsteen bijhaalt, kan je ze een aantal verschillen met jouw papieren steen laten benoemen. Een waar ze wellicht niet direct opkomen is dat in de meeste gevallen de ogen halve bolletjes uitgespaarde materie zijn. Er zit reliëf in. Buiten de ontbrekende ogen zorgen ook de afgeronde ribben en hoeken ervoor dat de dobbelsteen geen perfecte kubus is.

2. Iets uitdagender: twee dobbelstenen

Als je twee dobbelstenen tegen elkaar legt, krijg je een rechthoek als je het tweedimensionaal bekijkt, dus enkel op de bovenzijde let. Dat je minimaal 2 en maximaal 12 ogen samen aan een zijde kan zien zal ons niet meer verbazen, maar kleuters misschien nog wel als ze proefondervindelijk proberen zoveel of zo weinig mogelijk ogen naar boven te keren.

Eentje voor jou:

Waarom is 7 trouwens het meest gegooide aantal als je met twee dobbelstenen gooit?

7 is de som van de meeste mogelijke combinaties van twee getallen tussen 1 en 6. Wat je ook gooit met de eerste dobbelsteen, je hebt altijd één kans op zes dat je 7 gooit als je de tweede dobbelsteen erbij telt. Vergelijk het even met het moeilijkst te gooien aantal ogen met twee dobbelstenen: 2 en 12. In die gevallen moet de eerste dobbelsteen respectievelijk een 1 of een 6 zijn en de tweede identiek. Dat maakt één kans op zes maal één kans op zes, dus één kans op zesendertig op 2 of 12 met twee dobbelstenen.

Symmetrie

Met twee dobbelstenen tegen elkaar kan je bovendien al figuurtjes vormen met de ogen: een vogel, twee keer 3, symmetrisch tegen elkaar gelegd.

Zien we ook een stopcontact in twee keer 1? Opgelet, doorgaans bouwen we symmetrie op door met spiegeltjes te werken in de klas. Dat kan hier zeker ook een tussenstap zijn.

Als de twee stenen niet met een hele zijde tegen elkaar aan moeten liggen kan je een lijn met 6 stippen vormen: twee keer 3, als de twee correct geplaatste stenen elkaar raken in een hoekpunt en de ogen in elkaars verlengde liggen; of een tennisracket: een 3 en een 4, waarbij de 3 het handvat en het verlengde ervan vormt en de 4 het besnaarde slagvlak.

Zelfs met twee dobbelstenen kan je de complexiteit van de symmetrie enorm variëren. Heel eenvoudig is twee dobbelstenen met telkens 1, 4 of 5 ogen. Je kan ze moeilijk niet symmetrisch ten opzichte van elkaar leggen. Moeilijker zijn twee stenen met telkens 2, 3 of 6. Meest complex en tegelijk het mooist vind ik die in het racket.

Opgelet, symmetrie en spiegelingen worden niet expliciet vermeld in de Vlaamse ontwikkelingsdoelen, wel in leerplannen.

3. Nog uitdagender: vier dobbelstenen

Een vierkant van twee bij twee dobbelstenen opent pas echt kansen voor symmetrie. Naast horizontaal spiegelen kan je zo ook heel aanschouwelijk verticaal spiegelen, al kon je ook met twee dobbelstenen al een denkbeeldige lijn in de lengte middendoor de dobbelstenen beschouwen.

Je kan je bollebozen uitdagender werk voorleggen. Misschien komen je kleuters zelf tot complexere vormen dan vier keer hetzelfde aantal ogen in een vierkant, bijvoorbeeld vier keer 1 of vier keer 4.

Maar zelfs een vierkant kan verrassen: een groot diagonaal kruis leggen met vier dobbelstenen met 2 ogen vergt meer inzicht dan de voorbeelden hiervoor, waarbij het er niet toe doet hoe je de stenen juist plaatst.

Bij een bespreking van het hoekenwerk, kan je zelf ook eens een figuur leggen in de kring. Een leuke lijkt mij een figuur die je diagonaal kan spiegelen. Dan snijd je zelfs door dobbelstenen. Je kan op verschillende manieren vier dobbelstenen met 2 aan de bovenzijde leggen dat ze op alle assen spiegelbaar zijn. Maar je kan ze ook zo leggen dat ze op bepaalde assen wel symmetrisch liggen en op andere niet. Probeer maar. Hoe is dat trouwens als je vier keer 6 legt?

4. Vier dobbelstenen, maar driedimensionaal

Laat de kleuters ook maar oog hebben voor wat er op de andere zijden te zien is. Hoe kunnen we de stenen zo leggen dat er zo weinig mogelijk ogen zichtbaar zijn? Ik neem aan dat kleuters zelf snel zullen door hebben dat ze de 6’en onzichtbaar moeten maken. Maar komen ze er ook toe dat we van elke steen drie zijden zien, en dat de clou in de plaatsing zit zodat we van elke dobbelsteen de 1, 2 en 3 zien?

5. Laatste uitdaging: acht dobbelstenen, driedimensionaal

Een kubus met twee lagen van vier dobbelstenen opent nog meer mogelijkheden. Hoe leggen je kleuters ze zodat er zo weinig mogelijk ogen zichtbaar zijn?

Even doordenken… Van de vier dobbelstenen die de bovenste laag vormen zien we telkens drie zijden (zie punt 4). Van de onderste 4 zien we maar twee zijden.

Dus logischerwijs zal het minimum aantal ogen vier keer 1 + 2 + 3 (de vier bovenste dobbelstenen waar we telkens drie flanken van zien, respectievelijk de 1, 2 en 3) + vier keer 1 + 2 (de vier onderste dobbelstenen waar we telkens twee flanken van zien, respectievelijk de 1 en de 2). (4 x 6) + (4 x 3) = 36. Het ligt voor de hand dat je ook het maximaal aantal ogen kan laten leggen.

Wie weet komt een slimmerik op het idee de dobbelstenen op een glazen tafel of in een doorschijnend plastic potje te leggen, zodat je alle acht de dobbelstenen langs drie kanten kan bekijken. Het minimum zichtbare ogen is dan 8 x 6, 48. (acht dobbelstenen en telkens 1, 2 en 3 zichtbare ogen)

Met acht dobbelstenen begin ik spontaan extra spelletjes en uitdagingen te bedenken, maar die zijn al lang niet meer op kleuterniveau. Misschien zoekt u wel graag uit hoe u de acht dobbelstenen in de grote kubus kan leggen zodat hij de eigenschap van een kleine kubus behoudt dat de tegenovergestelde zijde van vier dobbelstenen het complement vormt van vier keer 7, 28? Je zal vaststellen dat je zelfs vier keer 1 aan een kant en vier keer 6 aan de achterzijde kan krijgen (4 + 24 = 28) én aan de andere zijden vier keer 2 (met vier keer 5 op de tegenovergestelde zijde) en vier keer 3 (met vier keer 4 op de tegenovergestelde zijde). Als je de smaak te pakken hebt, probeer dan ook wat te spiegelen in drie dimensies en figuren te vormen met de ogen die doorlopen over verschillende zijden.

Dank aan Annemie Merckx, mijn onvolprezen wiskundecollega. Naast feedback gaf ze ook de Vlaamse ontwikkelingsdoelen aan waaraan gewerkt wordt in het bovenstaande:

  • tellen: WI OD 1.2 Wiskundige initiatie Getallen De kleuters kunnen met aanwijzing vijf dingen correct (simultaan) tellen en daarna zeggen hoeveel dingen er geteld zijn (resultatief).
  • symmetrie: WI OD 3.3 Wiskundige initiatie Ruimte (initiatie in meetkunde) De kleuters kunnen in een concrete situatie oplossingen vinden voor een ruimtelijk probleem.

Op de blog Onderzoekonderwijs geef ik nog wat suggesties voor hoekenwerk en stel ik een aantal onderwijskundige vragen, onder andere over de doorgaande lijn naar het lager en zelfs secundair onderwijs.
https://onderzoekonderwijs.net/2019/03/17/wiskunde-met-dobbelstenen/

bronnen

https://www.polyhedra.net/nl/pictures.php?type=p

Ik haalde er de bouwplaat van de kubus. Liefhebbers vinden er ook die van andere veelvlakken.

2 gedachtes over “Wiskunde met dobbelstenen

  1. Prachtig, en niet alleen voor kleuters. Hoeveel essentieel verschillende ‘dobbelstenen kun je maken? Hoeveel verschillende ‘uitslagen’ van een kubus? En tarijke problemen van ordenend tellen …

    Like

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.